आधारभूत गणनात्मक ज्ञान

इस भाग में क्या पढ़ेंगे

★ आधारभूत गणनात्मक ज्ञान ★

आज की प्रतियोगिता परीक्षाओं में जोड़, घटाव, गुणा व भाग से सम्बन्धित काफी प्रश्न पूछे जाते हैं और बैंक की परीक्षाओं में तो कम से कम 10-15 प्रश्न इसी अध्याय में से होते हैं। समय के अभाव को देखते हुए इन्हें शीघ्र हल करने के लिए कुछ Tricks यहाँ दी जा रही हैं। परन्तु विद्वानों, ये Tricks हमको तभी याद हो सकती हैं जब इनका नियमित अभ्यास करें।

❖ गुणा करने की सूक्ष्म विधियाँ :-

(i) वर्ग संख्या सम्बन्धी — 11 से 99 तक की संख्याओं का गुणन

(i) सबसे पहले इकाई अंक का वर्ग।
(ii) दोनों अंकों के गुणन का दोगुना + हासिल।
(iii) दहाई के अंक का वर्ग + हासिल।

जैसे — 58 × 58 या (58)²

(58)²

step(1): 5² step(2): 2×5×8 step(3): 8²
25 80 64
+8 +6
—————-
33 86 = 3364

(i) 8 का वर्ग = 64, हासिल = 6

(ii) दोनों अंकों के गुणन का दोगुना + हासिल

2(40) + 6 = 86 हासिल = 8

(iii) दहाई के अंक (5) का वर्ग + हासिल

25 + 8 = 33

अतः, 3364 ans.

➤ जिनके अंत में 5 हो या इकाई अंकों का योग 10 हो :-

(i) इकाई अंक का वर्ग।

(ii) शेष अंक × (शेष + 1)

जैसे — 45 × 45 या (45)²

45 × 45

4 × (4+1) 5 × 5
20 25 = 2025

(i) 5 का वर्ग = 25

(ii) 4 × (4+1) = 20

अतः, 2025 ans.

जैसे — 76 × 74

76 × 74

7 × (7+1) 6 × 4

56 24 = 5624 ans.

इनका गुणन हम पहली विधि से भी कर सकते हैं।

★ कुछ सहायक अन्य विधियाँ :-

दो अंकों की संख्या में दोनों इकाई के अंक या दहाई के अंक समान हों तो —

(i) इकाई के अंकों का गुणनफल।
(ii) समान अंक × (असमान अंकों का योग) + हासिल।
(iii) दहाई के अंकों का गुणनफल + हासिल।

जैसे — 89 × 83

यहाँ दहाई के अंक समान हैं।

89 × 83 = 8 × 8 (9 + 3) × 8 9 × 3

64 12 × 8 = 96 27

+9 +2

--- ---

73 98

= 7387 ans.

जैसे — 84 × 24

यहाँ इकाई के अंक समान हैं।

(i) 4 × 4 = 16 में 6, हासिल 1
(ii) (8 + 2) × 4 = 40 + 1 = 41 में 1, हासिल 4
(iii) 8 × 2 = 16 + 4 = 20

84 × 24 = 8 × 2 (8 + 2) × 4 4 × 4

16 + 4 40 + 1 16

20 1 6

= 2016 ans.

➤ तीन अंकों की संख्याओं का वर्ग निकालना :-

101 से 199 तक की संख्याओं का गुणन —

(i) अन्तिम दो अंकों का गुणा।
(ii) अन्तिम दो संख्याओं का योग × 1, 2, 3 …. + हासिल।
(iii) शेष अंकों का गुणा + हासिल।

जैसे —

116 × 116 = 1 × 1 1(16 + 16) 16 × 16

1 32 256

+2

---

34

= 13456 ans.

Note : गुणा करते समय सावधानी बरतें कि एक साथ दो अंक रखने हैं।

(i) 16 × 16 = 256 में 56, हासिल 2।
(ii) 1 × (16 + 16) = 32 + 2 = 34।
(iii) 1 × 1।

इसी प्रकार हम 400, 500, 600, 700, 800, 900 के पास वाली संख्याओं का गुणन कर सकते हैं। परन्तु ध्यान रखें —

400 का गुणा कर रहे हैं तो दोनों के योग का चौगुना।
500 का गुणा कर रहे हैं तो दोनों के योग का पाँच गुना।
इसी प्रकार आगे भी करते जाते हैं।

104 × 112 = 1 × 1= 1 
1(4 + 12)= 16 
4 × 12 = 48
1     16     48
= 11648 ans.

(i) 4 × 12 = 48
(ii) 4 + 12 = 16
(iii) 1 का वर्ग = 1

★ तीन अंकों की संख्याओं का वर्ग निकालना :-

हम पिछली वाली विधि में कुछ परिवर्तन करके इस प्रकार की संख्याओं का भी गुणा कर सकते हैं।

(i) अन्तिम इकाई अंकों का गुणा।
(ii) इकाई अंकों का योग × शेष संख्या + हासिल।
(iii) शेष संख्याओं का गुणा + हासिल।

जैसे — 256 × 256

256 × 256 = 25 × 25 | 25(6 + 6) | 6 × 6

625 300 36

+30 ← +3 ↙

---- ----

655 303 = 65536 ans.

जैसे — 846 × 844

846 × 844 = 84 × 84 | 84(6 + 4) | 6 × 4

7056 840 24

+84 ← +2 ↙

---- ----

7140 842 = 714024 ans.

★ चार अंक वाली संख्याओं का वर्ग :-

पिछली विधि से हम चार अंकों की संख्या का भी वर्ग कर सकते हैं। परन्तु यहाँ गुणा करते समय एक साथ तीन अंक रखें।

जैसे — 2025 × 2025

2025 × 2025 = 2 × 2 | 2(025 + 025) | 025 × 025

4 100 625

= 4100625 ans.

(i) 25 × 25 = 625

(ii) (25 + 25) × 2 = 100
(iii) 2 × 2 = 4

अतः 4100625

★ 1-1 के गुणन वाली संख्याओं का वर्ग तथा गुणा करना :-

111 × 111 = 12321
यहाँ दोनों तरफ 1-1 के अंक 3 हैं, तो पहले दाईं ओर से गिनती के अनुसार बढ़ते हैं फिर घटते हैं।

1111 × 1111 = 1234321
यहाँ 1-1 के 4 अंक हैं, तो पहले 4 तक बढ़ेंगे फिर घटेंगे।

हम अलग-अलग संख्याओं का भी गुणा कर सकते हैं, जब दोनों ओर समान संख्या में अंक हों।

जैसे —

333 × 222 = 6 (111 × 111)
 6 (12321) = 73926 ans.

यहाँ एक तरफ समान 3 व दूसरी तरफ समान 2 है, तो पहले दोनों का गुणा करते हैं अर्थात् 6 बाहर निकाल लेते हैं, पुनः वही पुरानी प्रक्रिया दोहराते हैं।

जैसे —

× 666 = 24 (111 × 111)

(12321) = 295704 ans.

यदि दोनों तरफ संख्याएँ समान संख्याओं में नहीं हों, तो —

➤ जैसे —

11111 × 11 = 122221
यहाँ एक तरफ 1-1 कम से कम दो बार है, तो उसी के अनुसार लिखेंगे, परन्तु दूसरी तरफ 1-1 के 3 अंक ज्यादा हैं, तो 2 को 3 बार अधिक लिखेंगे।

➤ जैसे —

6666 × 222 = 12 (1111 × 111)

12 [123321] = 1479852

यहाँ बाहर निकालेंगे 12, फिर यहाँ 1-1 कम से कम 3 बार है और दूसरी तरफ 1 ज्यादा है, तो 3 को 1 बार और लिखेंगे।

★ किसी संख्या का 11 या उसके गुणजों से बनी संख्या से गुणा करना :-

जैसे — 659 × 11

659 × 11 
 (i)   9 
 (ii) (5 + 9) = 14 
 (iii)(6 + 5) = 11 
 (iv)  6

अतः,

659 × 11 = 7249 ans.

नोट : इस प्रकार के गुणाओं में 11 या उसके गुणजों में अंकों की संख्या का ध्यान रखना है। वह जितनी बार होगी, दूसरी तरफ की संख्याओं का उतना ही जोड़ा बनाकर योग करते हैं।

जैसे — 589 × 222

589 × 222 = 2 × (589 × 111)

(i) (9) × 2 = 18
(ii) (8 + 9) × 2 = 34 + 1 = 35
(iii) (5 + 8 + 9) × 2 = 44 + 3 = 47
(iv) (5 + 8) × 2 = 26 + 4 = 30
(v) (5) × 2 = 10 + 3 = 13

अतः,

589 × 222 = 130758 ans.

★ दो अंकों की संख्याओं का गुणा करना :-

यह प्रक्रिया सभी दो अंकों की संख्याओं पर लागू होती है।

A   B
C   D
 AC + (BC + AD) + BD

जैसे — 58 × 76

5   8
7   6

(i) 8 × 6 = 48

5   8
7   6

(ii) (8 × 7) + (5 × 6) = 56 + 30 = 86

5   8
7   6

(iii) 5 × 7 = 35

35      86      48
+9      +4
-----------------
44      90      08

अतः = 4408 ans.

इन संख्याओं को गुणा करने के लिए हम बाईं ओर वाली संख्याओं को सीढ़ियाँ तथा दाईं ओर वाली संख्याओं को व्यक्ति समझें। अब दाईं ओर से पहला व्यक्ति पहली सीढ़ी पर चढ़ने के बाद वह अगली सीढ़ी पर चला जाएगा और दूसरा व्यक्ति उसकी वाली सीढ़ी पर पहुँच जाएगा। इस प्रकार वे आगे बढ़ते जाएँगे। इस प्रकार हम इस विधि द्वारा एक ही पंक्ति में रखी संख्याओं को आसानी से हल कर लेंगे।

★ जब असमान संख्या हों तो :-

➤ जैसे — 437 × 215

(i) 7 × 5 = 35
(ii) (7 × 1) + (3 × 5) + 3 = 25
(iii) (7 × 2) + (3 × 1) + (4 × 5) + 2 = 39
(iv) (3 × 2) + (4 × 1) + 3 = 13
(v) 4 × 2 + 1 = 9

अतः वह संख्या = 93955

:- प्रिय विद्वानों, ये विधियाँ हमें तभी पूरी तरह से याद रह सकती हैं जब हम इनका अधिक से अधिक अभ्यास करें।

★ 9 से बनने वाली संख्या का किसी अन्य संख्या से गुणा करना :-

जैसे — 582 × 999

582 × (1000 – 1)

यहाँ 9-9 के 3 अंक हैं, इसलिए 3 शून्य रखें।

582000 – 582 = 581418 ans.

जैसे — 743 × 9999

743 × (10000 – 1)

7430000 – 743 = 7429257 ans.

★ 100 के आस-पास वाली संख्याओं का वर्ग

➤ (95)² = (95 – 5) 5² = 90___25 = 9025 ans.

यहाँ आधार 100 मानते हैं। दी गई संख्या 100 से जितना कम है उसका वर्ग करें और कम से कम 2 अंक तो लिखेंगे ही। फिर दी गई संख्या 100 से कितना कम है, उसे दी गई संख्या में से घटा दें। जैसे यहाँ दी गई संख्या 95, 100 से 5 कम है, तो 5 का वर्ग लिखेंगे और दी गई संख्या में से 5 घटा देंगे।

(94)² = (94 – 6) | 6² = 88___36 = 8836 ans.
(89)² = (89 – 11) | 11² = 78___121

यहाँ +1 हासिल लिया। =

79___21 = 7921 ans.

➤ इसी प्रकार हम 100 से अधिक वाली संख्याओं का भी वर्ग कर सकते हैं।

(105)² = (105 + 5) | 5² = 110___25 = 11025 ans.

➤ इसी प्रकार हम 1000 के आस-पास वाली संख्याओं का वर्ग भी कर सकते हैं। परन्तु 1000 के आस-पास वाली संख्या का वर्ग करते समय कम से कम तीन अंक रखते हैं।

(996)² = (996 – 4) | 4² = 992___016 = 992016 ans.

➤ हम 1000 से ऊपर वाली संख्याओं का भी वर्ग इसी विधि से कर सकते हैं।

(1015)² = (1015 + 15) | 15² = 1030___225 = 1030225 ans.

➤ इस प्रकार के प्रश्नों को चाहें तो आप 1 सेकण्ड में ही हल कर सकते हो।

वैसे गुणा सम्बन्धी विधियाँ कुछ ऊपर भी दर्शायी गयी हैं। 100 के आस-पास वाली संख्याओं का गुणा इस प्रकार भी कर सकते हैं। यहाँ भी हम 100 को आधार मानते हुए हल करेंगे।

जैसे — 112 × 107 = ?

बांया पक्ष      |      दांया पक्ष
112         |        -12
107         |         -7
----------------------------
119          |         84

दांया पक्ष :

-12 × (-7) = 84

बांया पक्ष :
112 – (-7) = 119

अतः :

112 × 107 = 11984 ans.

यहाँ बांया पक्ष हल करते समय ध्यान रखें, हमेशा तिरछी संख्याओं का अन्तर करते हैं।
इसे भी हम पिछली विधि से हल कर सकते हैं।

जैसे — 96 × 82

बांया पक्ष     |      दांया पक्ष
96          |         +4
82          |        +18
----------------------------
78          |         72

यहाँ आधार 100 बराबर करना होता है।

दांया पक्ष :

+4 × (+18) = 72

बांया पक्ष :

96 – (+18) = 78

अतः :

96 × 82 = 7872 ans.

नोट : इसे भी हम पिछली विधि से हल कर सकते हैं।

जैसे — 109 × 85

बांया पक्ष      |      दांया पक्ष
109          |         -9
85           |        +15
----------------------------
92           |         65
(94 - 2)    | (200 - 135)

दांया पक्ष :

-9 × 15 = -135

बांया पक्ष :

109 – (+15) = 94

अतः :

109 × 85 = 9265 ans.

यहाँ जब एक संख्या 100 से ऊपर व एक 100 से नीचे हो और दांये पक्ष का गुणन 100 से कम हो, तो बांये पक्ष से 1 लेकर दांये पक्ष में प्राप्त संख्या को 100 में से घटाते हैं।
यदि दांये पक्ष का गुणन 100 से ऊपर हो, तो बांये पक्ष से 2 लेकर दांये पक्ष की संख्या को 200 में से घटाते हैं।

इसी नियम का पालन करते हुए हम 1000 के आस-पास वाली संख्याओं को भी हल कर लेंगे।

जैसे — 994 × 991

बांया पक्ष      |      दांया पक्ष
994          |         +6
991          |         +9
----------------------------
985          |         054

दांया पक्ष :

+6 × (+9) = 54

बांया पक्ष :

994 – (+9) = 985

अतः :

994 × 991 = 985054 ans.

जैसे — 1008 × 1012

बांया पक्ष       |      दांया पक्ष
1008          |         -8
1012          |        -12
-----------------------------
1020          |         096

दांया पक्ष :

-8 × (-12) = 96

बांया पक्ष :

1008 – (-12) = 1020

अतः :

1008 × 1012 = 1020096 ans.

नोट : जब एक ही प्रश्न में कई चिन्ह हों, तो उन्हें BODMAS के अनुसार हल करते जाएँगे। इसका अध्ययन हम अगले अध्याय सरलीकरण में करेंगे।

❖ जोड़ से सम्बन्धित :-

हमको परीक्षाओं में इतना समय नहीं मिल पाता है कि इन्हें ऊपर-नीचे रखकर जोड़ें, इसलिए हमें वहाँ Unit Wise ही जोड़ना चाहिए। अर्थात् पहले इकाई अंक, फिर दहाई अंक, फिर सैकड़ा अंक आदि को जोड़ना चाहिए।

जैसे —

7432 + 5490 + 343

7 4 3 2

5 4 9 0

3 4 3

यहाँ,

2 + 0 + 3 = 5

3 + 9 + 4 = 16

4 + 4 + 3 + 1 = 12

7 + 5 + 1 = 13

अतः,

7432 + 5490 + 343 = 13265 ans.

★ जब समान अंकों की पुनरावृत्ति हो रही हो तो इन्हें पहाड़े के अनुसार जोड़ते हैं :-

जैसे — 4444 + 4444 + 444 + 44 + 4 = ?

यहाँ इकाई अंक पाँच पदों में है, तो

4 × 5 = (2) 0

अब दहाई अंक भी चारों पदों में है, तो

(4 × 4) + 2 = (1) 8

अब सैकड़ा अंक केवल तीन पदों में है, तो

(4 × 3) + 1 = (1) 3

हजार अंक केवल दो पदों में है, तो

(4 × 2) + 1 = 9

दस हजार वाला केवल एक पद में है, तो

4 × 1 = 4

अतः, = 4444 + 4444 + 444 + 44 + 4 = 49380

★ दशमलव संख्याओं पर आधारित प्रश्न :-

इस प्रकार के प्रश्नों को हल करने से पहले उनमें उपस्थित संख्याओं में दशमलव के बाद अधिकतम अंक के बराबर, दशमलव के बाद शून्य (0) बढ़ाकर बराबर कर लिया जाता है। इसके बाद जोड़ एवं घटाव की क्रिया की जाती है।

यदि संख्याएँ एक ही अंक की पुनरावृत्ति से बनी हों, तो —

जैसे —

0.9999 + 0.999 + 0.99 + 0.9 = ?

(9 × 4) (9 × 3) (9 × 2) (9 × 1)

38 28 18 9

38 8 8 9

अतः,

= 3.8889 ans.

जैसे —

0.6666 + 0.666 + 0.66 + 0.6 = ?

यहाँ थोड़ा सा ध्यान रखना है कि दशमलव के बाद अधिकतम अंकों की संख्या 4 है, तो पहले —

6 × 1 = 6

6 × 2 = (1) 2

(6 × 3) + 1 = (1) 9

(6 × 4) + 1 = 25

अतः,

= 25926

दशमलव अधिकतम 4 अंकों के बाद है, तो —

= 2.5926 ans.

★ एक ही प्रश्न में जोड़ व घटाव दोनों हों तो :-

जैसे — 32547 – 14613 – 2507 – 3519 = ?

यहाँ पहले 3 + 7 + 9 = 19
- अब 19 में कितना जोड़ें ताकि इकाई अंक 7 हो, तो यहाँ 8 जोड़ना है और वह 27 हो गया। हासिल = 2
1 + 0 + 1 = 2 + (2), 4 में 0 जोड़ने पर 4 हो जायेगा।
6 + 5 + 5 = 16, 16 में 9 जोड़ने पर 25, तो हासिल = 2
4 + 2 + 3 = 9 + (2) = 11, 11 में 1 जोड़ने पर 12, तो हासिल = 1
1 + (1) = 2, 2 में 1 जोड़ने पर 3 हो जाता है।
- यहाँ ध्यान रखना है कि तुमने जोड़ा कितना है।
- अतः, उत्तर = 11908

Note : यहाँ ध्यान रखना है कि 1 ऋण लेकर पिछली संख्या में जोड़ लिया गया था।

(i) 9815 + 7031 – 5632 – 2758 = ?

हल : 9815 + 7031 – 5632 – 2758

(5 + 1) – (2 + 8) 16 – 10 = 6 दहाई के स्थाने से 1 लेने पर
(1 + 3) – (3 + 5 + 1) 14 – 9 = 5
(8 + 10) – (7 + 6 + 1) 18 – 14 = 4
(9 + 7) – (5 + 2 + 1) 16 – 8 = 8

अतः उत्तर 8465 होगा।

Note : यहाँ ध्यान रखना है कि 1 ऋण लेकर पिछली संख्या में जोड़ लिया गया था।

(ii) 95739 + 6852 – 2753 – 3440 – 7653 = ?

हल : 95739 + 6852 – 2753 – 3440 – 7653

(9 + 2) – (3 + 0 + 3)
11 – 6 = 5
(3 + 5) – (5 + 4 + 5)
18 – 14 = 4
(7 + 8) – (7 + 4 + 6 + 1)
25 – 18 = 7
(5 + 6) – (2 + 3 + 7 + 1)
21 – 13 = 8
(9 – 1) = 8

1 ऋण वाला घटाने पर। अतः उत्तर 88745 होगा।

★ यदि संख्याएँ बराबर (=) के इधर या उधर हैं, तो पहले इन संख्याओं के चिन्ह बदल लेते हैं। जो (+) में है वह (-) में तथा जो (-) में है वह (+) में हो जाएगी।

जैसे —

(i) 15789 – ? = 3415 – 7640

हल : 15789 – ? = 3415 – 7640

(9 + 0) – 5 = 4
(8 + 4) – 1 = (1)1
(7 + 6 + 1) – 4 = (1)0
(5 + 7 + 1) – 3 = (1)0
(1 + 1) – 0 = 2

उत्तर = 20014 होगा।

★ कुछ संख्याएँ ऐसी होती हैं जिनके इकाई व दहाई के अंक आपस में बदलकर जोड़ दें तो उनका योग 11 का गुणन होगा।

यदि इकाई व दहाई के अंकों को बदलकर घटा रहे हैं, तो वह 9 का गुणन होता है।

जैसे — 64 + 46 = ? + 10

अब यहाँ, (4 + 6) × 11 = 110 होना चाहिए, तो 10 में कितना जोड़ें ताकि 110 आ जाए। अतः ? के स्थान पर 100 होगा।

जैसे — 96 – 69 = ? + 8

यहाँ, (9 – 6) × 9 = 27 होगा, तो 8 में कितना जोड़ें ताकि योग 27 हो जाए। अतः वह संख्या 19 है।

जैसे — 74 + 47 + 32 – ? = 121 + 9

यहाँ, (74 + 47) के लिए (4 + 7) × 11 = 121 अब 32 को पलटने से बनेगा 23 अब, 32 – 23 = (1) × 9 = 9 अतः ? के स्थान पर 23 होना चाहिए।

★ भिन्नों का जोड़-घटाव :-

भिन्नों को जोड़-घटाव हम निम्न नियम को ध्यान में रखते हुए हल कर सकते हैं —

जैसे —

यहाँ सामान्य संख्याओं का अलग जोड़-घटाव करके शेष बची बंटे (भिन्न) वाली संख्याओं को अलग किया करेंगे।

आधारभूत गणनात्मक ज्ञान

★ आधारभूत गणनात्मक ज्ञान ★

❖ गुणा करने की सूक्ष्म विधियाँ :-

★ कुछ सहायक अन्य विधियाँ :-

❖ जोड़ से सम्बन्धित :-

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